飞扬萌宠2024年10月11日发布:如何理解复变函数的极限

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上一篇用复分析理论的工具证明了重要定理代数学基本定理。但对于无复变函数论基础的读者来说，会难以理解，所以我开始详细地介绍复变函数论，这个理论里面也有一个重量级的问题：黎曼猜想，至今仍悬而未决。对于内容，我希望逐渐地将纯粹数学的全貌展现出来，包含数学专业本科内容，也会有关于中学数学一些习题的讲解（包括高中数学竞赛），我们知道数学三大板块：几何、代数、分析，每个人可能有自己更感兴趣的方面，比如我更想在代数数论方面深入一点。找到自己感兴趣的方面，会给你提供持续的动力。

高中生就已经知道了复数，会进行关于复数的运算，但是并没有建立关于复变函数的完整的理论，这一篇就讲单变量复变函数的极限。

定义1（邻域）：

给定点z0,不等式|z-z0|<ε 决定的区域称为z0的一个ε邻域。

定义2（去心邻域）：

给定点z0,不等式0<|z-z0|<ε 决定的区域称为z0的一个ε去心邻域。

现在给出单变量复变函数的极限的定义。回忆一下实变函数的极限，实变量可以从左边逼近也可以从右边逼近，即左极限和右极限，当左极限和右极限都存在且相等时，极限才存在。对于复变函数，由于自变量是复数，逼近一个数可以有无数个方向，极限存在是要求自变量不论从哪个方向趋近，极限都存在且相等。

根据这个定义，可以判断函数在某点有没有极限，接下来的定理用于求出一个函数在某点的极限。

可以看到这个定理把单复变函数的极限和二元变量的实函数的极限联系起来了，因为一个复变量可以分解成两个变量，实部一个，虚部一个，所以可以看作二元变量实函数。而复变函数与一般的二元实函数又不同，因为有i^2=-1这个规定，它有着独特的性质。下面的定理表明了单复变函数极限的运算性质。

证明：略。

定义完了极限，类似实函数，就可以定义连续性了。

关于连续性有两个定理，证明很简单，直接放结论。

定理3：两个连续函数的复合仍然是连续的。

定理4：如果f在点z0连续并且不为0，那么在该点的某个邻域有f(z)不等于0。

感兴趣的读者就这两个定理可以证明一下，和《数学分析》中一样，将其转化为ε-δ语言。给读者留个思考题。

思考题：证明当z趋近于0，下面的极限不存在：

括号里面是z比上z的共轭复数。这个证明就是要找到两个不同方向的极限不相等。根据极限的定义，就证明了极限不存在。如果没有这个平方，证明更简单，从实轴上趋近0和从虚轴上趋近0极限不相等。加了平方呢?感兴趣的读者思考思考，如果有了想法，可留言分享。

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